ところでt分布や重回帰分析で頻出する自由度の証明(分散分析でもよく出る)についてなんですが、最も簡単で分かりやすく、理論的にも妥協しない証明って何でしょうか？
冪等性のある対称行列 M で表現された二次形式 u'Mu (u は各成分が互いに独立な標準正規分布に従う確率変数ベクトル) を、対角化により P'MP (Pは直交行列) に変換して、冪等性から P'M^nP = P'MP となることを認識、つまりその対角成分は 0 か 1となる。
また、ベクトル v = Pu がヤコビアンを用いた多次元確率変数の変換によって、各成分が互いに独立な標準正規分布に従う確率変数であることから、u'Mu = u'P'MPuとなる。従って、trace(P'MP)=trace(MPP')=trace(M)であることを考えて、対角化の各成分が0 or 1 になることから、自由度が行列Mのランクであるカイ自乗分布に従うっていう証明で理解してるんだけど、他にもっとシンプルな証明ない？
毎回自由度の所で誰かに教える場合に躓く…